$P + 2^{1 / 3} + 2^{2 / 3} = 0$ হলে $P^{3} + 6$ এর মান কত হবে?

Created: 9 months ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

ক

4P
খ

5P
গ

6P
ঘ

3P

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি দুর্নীতি দমন কমিশন - সহকারী পরিচালক - 2026

159

ব্যাখ্যাঃ

দেওয়া আছে,

$P + 2^{1/3} + 2^{2/3} = 0$

ধরি, $x = 2^{1/3}$

তাহলে, $x^2 = (2^{1/3})^2 = 2^{2/3}$

এখন, মূল সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$P + x + x^2 = 0$

বা, $P = -(x + x^2)$ ..........(i)

যেহেতু, $x = 2^{1/3}$, অতএব, $x^3 = (2^{1/3})^3 = 2$

এখন, সমীকরণ (i) এর উভয় পাশে ঘন (cube) করে পাই:

$P^3 = -(x + x^2)^3$

আমরা জানি, $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ সূত্রানুসারে,

$P^3 = -[x^3 + (x^2)^3 + 3 \cdot x \cdot x^2 (x + x^2)]$

$P^3 = -[x^3 + x^6 + 3x^3 (x + x^2)]$

এখন, $x^3 = 2$ এবং $x^6 = (x^3)^2 = 2^2 = 4$ এই মানগুলো বসিয়ে পাই:

$P^3 = -[2 + 4 + 3 \cdot 2 (x + x^2)]$

$P^3 = -[6 + 6(x + x^2)]$

পুনরায় সমীকরণ (i) থেকে আমরা জানি, $(x + x^2) = -P$। এই মানটি বসিয়ে পাই:

$P^3 = -[6 + 6(-P)]$

$P^3 = -[6 - 6P]$

$P^3 = -6 + 6P$

বা, $P^3 + 6 = 6P$

সুতরাং, $P^3 + 6$ এর মান $6P$।

Azizar Rahman Aziz

3 months ago

MCQ: 196 CQ: 178

Practice

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

বীজগণিতে ঘন (Cube) সম্পর্কিত বিভিন্ন গুরুত্বপূর্ণ সূত্র ব্যবহার করে জটিল রাশিকে সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ ও সরলীকরণ করা হয়।

ঘনের মৌলিক ধারণা

কোনো সংখ্যাকে বা রাশিকে তিনবার গুণ করলে তাকে সেই সংখ্যার ঘন বলা হয়।

উদাহরণ:

$a \times a \times a = a^{3}$

ঘন সংবলিত গুরুত্বপূর্ণ সূত্রাবলি

১. দুই রাশির যোগের ঘন

${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

২. দুই রাশির বিয়োগের ঘন

${(a - b)}^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

৩. দুই ঘনের যোগ

$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

৪. দুই ঘনের বিয়োগ

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

গুরুত্বপূর্ণ ধারণা

ঘন মানে কোনো রাশির তৃতীয় ঘাত
ঘন সূত্র উৎপাদক বিশ্লেষণে ব্যবহৃত হয়
যোগ ও বিয়োগের ঘনের সূত্র আলাদা
দুই ঘনের যোগ ও বিয়োগের নির্দিষ্ট সূত্র রয়েছে

মনে রাখার উপায়

“দুই ঘনের যোগে মাঝখানে ঋণ, আর বিয়োগে মাঝখানে ধন” — এই নিয়ম মনে রাখলে সূত্র সহজে মনে থাকে।

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

সূত্র ৬. $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

প্রমাণ : $(a + b)^{3} = (a + b) (a + b)^{2}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} + 2 a b + b^{2}) + b (a^{2} + 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} + 2 a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$

$= a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)$

অনুসিদ্ধান্ত ৯. $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

সূত্র ৭. $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

প্রমাণ : $(a - b)^{3} = (a - b) (a - b)^{2}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - b (a^{2} - 2 a b + b^{2})$

$= a^{3} - 2 a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b + 2 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$

$= a^{3} - b^{3} - 3 a b (a - b)$

অনুসিদ্ধান্ত ১০. $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

সূত্র ৮. $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b)$

$= (a + b) {(a + b)^{2} - 3 a b}$

$= (a + b) (a^{2} + 2 a b + b^{2} - 3 a b)$

$= (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$

সূত্র ৯. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

প্রমাণ : $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 a b (a - b)$

$= (a - b) {(a - b)^{2} + 3 a b}$

$= (a - b) (a^{2} - 2 a b + b^{2} + 3 a b)$

$= (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$

উদাহরণ ১২. 2x + 6y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x + 3 y)^{3}$

$= (2 x)^{3} + 3 (2 x)^{2} . 3 y + 3.2 x (3 y)^{2} + (3 y)^{3}$

$= 8 x^{3} + 3.4 x^{2} . 3 y + 3.2 x . 9 y^{2} + 27 y^{3}$

$= 8 x^{3} + 36 x^{2} y + 54 x y^{2} + 27 y^{3}$

উদাহরণ ১৩. 2x - y এর ঘন নির্ণয় কর।

সমাধান : $(2 x - y)^{3}$

$= (2 x)^{3} - 3 (2 x)^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 3.4 x^{2} . y + 3.2 x . y^{2} - y^{3}$

$= 8 x^{3} - 12 x^{2} y + 6 x y^{2} - y^{3}$

উদাহরণ ১৪. x = 37 হলে, $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$ এর মান কত?

সমাধান: $8 x^{3} + 72 x^{2} + 216 x + 216$

$= (2 x)^{3} + 3 . (2 x)^{2} . 6 + 3.2 x . (6)^{2} + (6)^{3}$

$= (2 x + 6)^{3} = (2 \times 37 + 6)^{3}$ [মান বসিয়ে]

$= (74 + 6)^{3} = (80)^{3} = 512000$

উদাহরণ ১৫. যদি 7x - y = 8 এবং xy = 5 হয়, তবে $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$ এর মান কত?

সমাধান: $x^{3} - y^{3} + 8 (x + y)^{2}$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) + 8 {(x - y)^{2} + 4 x y}$

$= (8)^{3} + 3 \times 5 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$ [মান বসিয়ে]

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 (8^{2} + 4 \times 5)$

$= 8^{3} + 15 \times 8 + 8 \times 84$

$= 8 (8^{2} + 15 + 84) = 8 (64 + 15 + 84)$

$= 8 \times 163 = 1304$

উদাহরণ ১৬. যদি $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = 18 \sqrt{3}$

সমাধান : দেওয়া আছে, $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

উদাহরণ ১৭. x + y = 5, xy = 6 হলে এবং x > y হলে

ক) $2 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

খ) $x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$ এর মান নির্ণয় কর।

গ) $x^{5} + y^{5}$ এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান :

ক) আমরা জানি,

$= 2 (5^{2} - 2.6) = 2 \times 13 = 26$

$∴ 2 (x^{2} + y^{2}) = 26$

খ) দেওয়া আছে, $x + y = 5$ এবং $x y = 6, x > y$

$∴ x - y = \sqrt{{(x + y)}^{2} - 4 x y}$ (প্রদত্ত শর্ত মোতাবেক ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়)

$= \sqrt{5^{2} - 4 \times 6} = \sqrt{25 - 24} = \sqrt{1} = 1$

$x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2})$

$= (x - y)^{3} + 3 x y (x - y) - \frac{3}{2} . 2 (x^{2} + y^{2})$

$= 1^{3} + 3.6.1 - \frac{3}{2} . 26$

$= 1 + 18 - 39$

$= - 20$

$∴ x^{3} - y^{3} - 3 (x^{2} + y^{2}) = - 20$

গ) x + y = 5 এবং x - y = 1

যোগ করে, 2x = 6 $∴ x = \frac{6}{2} = 3$

বিয়োগ করে, 2y = 4 $∴ y = \frac{4}{2} = 2$

$∴ x^{5} + y^{5} = 3^{5} + 2^{5} = 243 + 32 = 275$

Related Question

View All

$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}} =$ কতো?

49 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

100
খ

105
গ

110
ঘ

115

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি সাধারণ সূত্রাবলি (General formulas) বাংলাদেশ নৌবাহিনী - উচ্চমান সহকারী/স্টোর হাউজম্যান Bangladesh Post Khulna Multiple Posts - 2026 Combined Banks Senior Officer - 2026 DOE Office Assistant - 2026 BAEC — Laboratory Attendant - 2026 Bangladesh Navy — Upper Division Assistant - 2026 PDBF – Field Officer - 2025 DLS – Laboratory Technician - 2025 ECS – Various Posts - 2025 NBR – Data Entry / Control Operator - 2025 DLRS – Peshkar - 2025 CAAB – Security Superintendent - 2024 BPSC - MOFA – Personal Officer - 2024 DGDA – Office Assistant cum Computer Typist - 2024 Janata Officer - 2023 45th BCS Preli - 2023 CGA – Junior Auditor - 2022 MOFA – Assistant Cypher - 2022 MOR Guard Grade-2 - 2022 BR Pointsman - 2022 DSHE – Office Sohayak - 2021 PKB Officer - 2021 BCSAA – Office Sohayak - 2021 CCI&E – Office Assistant - 2020 BBS – Statistical Assistant - 2020 NATP – Field Assistant - 2019 MOFL – Field Assistant - 2019 15th NTRCA - 2019 PSB Officer - 2018 MoFA Assistant Cipher Officer - 2017 NSI AD - 2017 BPSC AME - 2017 BTV Assistant Engineer (Civil) - 2017 11th NTRCA - 2014 9th NTRCA - 2013 Pre-Primary Teacher - 2013 Primary Assistant Teacher - 2012 ATEO - 2012 Primary Assistant Teacher - 2011 Primary Assistant Teacher - 2010 Primary Assistant Teacher - 2008 CD Cipher Officer - 2005 25th BCS Preli - 2004 FD Administrative Officer - 2004

a + b = c হলে $a^{3} + b^{3} + 3 a b c$ =?

4 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

$a^{3}$
খ

$b^{3}$
গ

$c^{3}$
ঘ

0

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি বাংলাদেশ নৌবাহিনী - উচ্চমান সহকারী/স্টোর হাউজম্যান Bangladesh Navy — Upper Division Assistant - 2026 Pre-Primary Teacher - 2013 Primary Assistant Teacher - 2010 Primary Head Teacher - 2008

$x + \frac{1}{x} = 2$ হলে, $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ এর মান কত?

49 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

2
খ

4
গ

6
ঘ

8

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি সাধারণ সূত্রাবলি (General formulas) বাংলাদেশ পরমাণু শক্তি কমিশন - ল্যাবরেটরি অ্যাটেনডেন্ট Bangladesh Post Khulna Multiple Posts - 2026 Combined Banks Senior Officer - 2026 DOE Office Assistant - 2026 BAEC — Laboratory Attendant - 2026 Bangladesh Navy — Upper Division Assistant - 2026 PDBF – Field Officer - 2025 DLS – Laboratory Technician - 2025 ECS – Various Posts - 2025 NBR – Data Entry / Control Operator - 2025 DLRS – Peshkar - 2025 CAAB – Security Superintendent - 2024 BPSC - MOFA – Personal Officer - 2024 DGDA – Office Assistant cum Computer Typist - 2024 Janata Officer - 2023 45th BCS Preli - 2023 CGA – Junior Auditor - 2022 MOFA – Assistant Cypher - 2022 MOR Guard Grade-2 - 2022 BR Pointsman - 2022 DSHE – Office Sohayak - 2021 PKB Officer - 2021 BCSAA – Office Sohayak - 2021 CCI&E – Office Assistant - 2020 BBS – Statistical Assistant - 2020 NATP – Field Assistant - 2019 MOFL – Field Assistant - 2019 15th NTRCA - 2019 PSB Officer - 2018 MoFA Assistant Cipher Officer - 2017 NSI AD - 2017 BPSC AME - 2017 BTV Assistant Engineer (Civil) - 2017 11th NTRCA - 2014 9th NTRCA - 2013 Pre-Primary Teacher - 2013 Primary Assistant Teacher - 2012 ATEO - 2012 Primary Assistant Teacher - 2011 Primary Assistant Teacher - 2010 Primary Assistant Teacher - 2008 CD Cipher Officer - 2005 25th BCS Preli - 2004 FD Administrative Officer - 2004

If $a^{3} - b^{3} = 513$ , a - b = 3, then the value of ab?

11 Exams

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

54
খ

35
গ

45
ঘ

55

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি সমাজসেবা অধিদপ্তর — অফিস সহকারী কাম-কম্পিউটার মুদ্রাক্ষরিক DoF – Office Asst. Cum Computer Typist - 2025 DGFP MLSS / Security Guard - 2023 BREB – Meter Reader-cum-Messenger - 2023 BREB – Assistant Junior Engineer - 2023 DSS – Field Supervisor - 2018 DSS – Office Assistant Cum-Computer Typist - 2018 12th NTRCA - 2015 OCAG Auditor - 2014 Pre-Primary Teacher - 2013 11th BCS Preli - 2011 Primary Head Teacher - 2009

$p + \frac{1}{p} = 5$ হলে $p^{3} + \frac{1}{p^{3}}$ মান কত?

49 Exams

Created: 4 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

100
খ

105
গ

110
ঘ

115

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি বর্গ সংবলিত সূত্রাবলি সাধারণ সূত্রাবলি (General formulas) পরিবেশ অধিদপ্তর — অফিস সহায়ক Bangladesh Post Khulna Multiple Posts - 2026 Combined Banks Senior Officer - 2026 DOE Office Assistant - 2026 BAEC — Laboratory Attendant - 2026 Bangladesh Navy — Upper Division Assistant - 2026 PDBF – Field Officer - 2025 DLS – Laboratory Technician - 2025 ECS – Various Posts - 2025 NBR – Data Entry / Control Operator - 2025 DLRS – Peshkar - 2025 CAAB – Security Superintendent - 2024 BPSC - MOFA – Personal Officer - 2024 DGDA – Office Assistant cum Computer Typist - 2024 Janata Officer - 2023 45th BCS Preli - 2023 CGA – Junior Auditor - 2022 MOFA – Assistant Cypher - 2022 MOR Guard Grade-2 - 2022 BR Pointsman - 2022 DSHE – Office Sohayak - 2021 PKB Officer - 2021 BCSAA – Office Sohayak - 2021 CCI&E – Office Assistant - 2020 BBS – Statistical Assistant - 2020 NATP – Field Assistant - 2019 MOFL – Field Assistant - 2019 15th NTRCA - 2019 PSB Officer - 2018 MoFA Assistant Cipher Officer - 2017 NSI AD - 2017 BPSC AME - 2017 BTV Assistant Engineer (Civil) - 2017 11th NTRCA - 2014 9th NTRCA - 2013 Pre-Primary Teacher - 2013 Primary Assistant Teacher - 2012 ATEO - 2012 Primary Assistant Teacher - 2011 Primary Assistant Teacher - 2010 Primary Assistant Teacher - 2008 CD Cipher Officer - 2005 25th BCS Preli - 2004 FD Administrative Officer - 2004

101

যদি a + b + c = 0 হয় তবে $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ এর মান কত?

16 Exams

Created: 4 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

1
খ

3abc
গ

abc
ঘ

0

গণিত ঘন সংবলিত সূত্রাবলি পরিবেশ অধিদপ্তর — অফিস সহায়ক BR Assistant Station Master - 2026 DOE Office Assistant - 2026 MES – Various Posts - 2025 BAEC – OA Cum Typist - 2025 BREB – Meter Reader cum Messenger - 2024 PKSF – Assistant Manager - 2023 BREB – Meter Reader-cum-Messenger - 2023 Primary Assistant Teacher - 2022 BRDB URDO - 2022 BREB AEC - 2017 Law Ministry Sub-Registrar - 2016 CAG Junior Auditor - 2011 Primary Head Teacher - 2009 Primary Assistant Teacher - 2006 DOL Assistant Director - 2005 10th BCS Preli - 1990

শিক্ষকদের জন্য বিশেষভাবে তৈরি

১ ক্লিকে প্রশ্ন, শীট, সাজেশন ও
অনলাইন পরীক্ষা তৈরির সফটওয়্যার!

শুধু প্রশ্ন সিলেক্ট করুন — প্রশ্নপত্র অটোমেটিক তৈরি!

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

প্রশ্ন এডিট করা যাবে

জলছাপ দেয়া যাবে

ঠিকানা যুক্ত করা যাবে

Logo, Motto যুক্ত হবে

অটো প্রতিষ্ঠানের নাম

অটো সময়, পূর্ণমান

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

অটো নির্দেশনা (এডিটযোগ্য)

অটো বিষয় ও অধ্যায়

OMR সংযুক্ত করা যাবে

ফন্ট, কলাম, ডিভাইডার

প্রশ্ন/অপশন স্টাইল পরিবর্তন

সেট কোড, বিষয় কোড

এখনই শুরু করুন ডেমো দেখুন

৫০,০০০+

শিক্ষক

৩০ লক্ষ+

প্রশ্নপত্র

Notification

$P + 2^{1 / 3} + 2^{2 / 3} = 0$ হলে $P^{3} + 6$ এর মান কত হবে?

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

P + 21/3+ 22/3= 0 হলে P3+ 6 এর মান কত হবে?

ঘন সংবলিত সূত্রাবলি

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

$P + 2^{1 / 3} + 2^{2 / 3} = 0$ হলে $P^{3} + 6$ এর মান কত হবে?